你能用上降噪耳机,竟要感谢傅立叶变换?

来源:新智元

处在数字化社会中的你们,一定要感谢「傅立叶变换」。

感谢它提供你每天流媒体的音乐,把你在互联网上看到的图像压缩成小小的 JPG 文件,甚至于你的降噪耳机也要归功于他。

可以说,这个方程的魔力在于它能让数学家们快速理解任何一种信号的频率含量。

3月21日,是「傅立叶变换」的提出者——约瑟夫·傅里叶的生日。

在这个纪念日里,让我们一起回顾一下,这个美丽的壮举。

傅立叶定理的诞生

傅立叶定理的优美被许多人所赞叹。

1867年,物理学家开尔文勋爵也曾大方表达了他对这个优秀数学作品的永恒热爱。

他写道: 「傅立叶定理不仅是现代分析中最美丽的结果之一,而且是处理现代物理学中几乎每一个深奥问题的不可或缺的工具。」

1822年,傅立叶在他出版的《热的分析理论》一书中首次提出了「傅立叶」变换这个概念。

傅里叶一直对热在材料内部和周围流动的方式很感兴趣,在研究这种现象的过程中,他推导出了傅立叶变换。

傅立叶的重大突破是意识到复杂的信号可以通过简单地叠加一系列简单得多的信号来表示。于是,他选择通过叠加正弦波来完成这项工作。

当然,当时的他不会意识到自己所做的贡献有多么重要。

傅立叶定理如何解释?让我们做一个恰当的比喻!

假设你在钢琴上弹了一个和弦,按了三个键。你会产生三种不同的音符,它们都有明确的频率,这些音符看起来像是美妙的、友好的正弦波。

但是把它们加在一起,那个悦耳的和弦实际上看起来却很凌乱,像这样:

它虽然看起来很复杂,但从根本上说,它只是三个普通的正弦波,在时间上交错并相互叠加。

傅立叶从中意识到,无论最终的波形多么复杂,它始终可以表示为正弦波的组合,即使意味着包含无限多个基础波形。

如果能算出哪些正弦波需要叠加起来才能产生最终的波形,就能准确地知道哪些频率波的需要叠加起来,以及叠加的数量。

有了这些,你就可以知道最终信号的确切频率。

这就是傅立叶变化方程中描述的作用。x (t)项表示你想表示的复杂的信号。

E ー jπ2ft 这个术语看起来有点复杂,但它实际上只是数学家们用来表示正弦曲线的速记法。

而巧妙之处在于则在于,将两者相乘,然后将它们包裹在一个积分中,使得方程能够挑选出表示信号所需要的三角函数的每一个频率分量。

等式的结果X (f) ,提供了所需要的每个简单信号的大小和时间延迟。

想象你在互联网上传送音频文件。

你可以像音乐公司最初录制歌曲那样,把整首歌放进去,但是这样的话,需要很大的存储空间: 每一个频率都被记录下来,通过混合后,到最后的音轨上。

但是,如果用傅立叶变换,只需要一小段音轨,你会发现有些频率成分居于主导地位,而其他成分则几乎没有记录。

MP3文件格式正是基于这个原理运行的ーー为了节省空间,它把几乎察觉不到的频率部分舍弃掉了。

在整首歌中,确定重要的频率成分,丢弃那些不重要的部分,剩下的只是最重要的频率,以(相当准确地)表现原始的音轨。

无独有偶,音乐识别软件Shazam 也使用了同样的转换方式ーー它有一个数据库,里面有与你播放的歌曲相匹配的独特频率内容。

你的抗噪耳机也和傅立叶变换有关:麦克风记录你周围的环境噪音,测量整个频谱的频率内容,然后将声音内容反相添到你的音频混音中,抵消周围的道噪音。

用于像素处理

但傅立叶方程并非只有一种应用领域。刚刚只谈到了像声音这样的时间信号,但它也同样适用于空间问题。对于 Forueir 来说,它意味着将简单的二维热流加在一起来表示更复杂的热流。

同样的道理,傅立叶变换图像处理软件也可以比逐像素处理软件更有效地构建数字图像。

减损图像文件中分别定义着每个像素的颜色。当你将其中一张保存为 JPG 格式时,整个图像就会被分割成更小的块,然后就可以得到这个块的2 d 傅立叶变换了。

它描述了图像中这一小块区域的颜色和亮度变化的空间频率。就像 MP3的例子一样,JPG 将一些高频成分抛在一边,而在图像的例子中,这些成分提供了清晰、明快的细节。

对于我们大多数人来说,我们的眼睛无论如何也不能真正发现颜色上的细微差别,所以忽略提供像素到像素变化的频率成分几乎无法显示。

显然,如果你进行更大程度的压缩,随着各个子块之间的颜色变化变得越来越明显,图像就会开始显得模糊。

MP3和 JPG 等压缩系统大多数时候几乎无法察觉。换句话说,傅立叶变换让数字图像和音乐变得实用,让我们可以轻松地分享它们。

参考资料:

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